RINGKASAN MATERI

KALKULUS

MATERI PERSIAPAN

0.1 Bilangan Real,Estimasi, dan Logika

Macam-macam bilangan :

-          Bilangan bulat ada 3 macam :

1. Ganjil : semua bilangan yang tidak dapat dibagi dua

2. Genap : semua bilangan yang dapat dibagi dua

3. Prima : semua bilangan yang hanya dapat dibagi 1 dan dirinya sendiri (1,3,5,7,11,..)

-          Bilangan Rasional : bilangan yang dapat ditulis  dimana n0 asalkan angka desimalnya berulang.

-          Bilangan real : gabungan dari semua bilanngan, istimewa, punya hubungan satu dengan lainnya.

Urutan pada garis real dengan mengatakan bahwa x  berarti x ada disebelah kiri y pada garis real.

         

         X                       y

Sifat-sifat urutan :

1.       Trikotomi . jika x dan y adalah bilangan, maka tempat satu diantara yang berikut berlaku: xy atau x=y atau x>y

2.       Ketransitifan. x<y dan y<z => x<z.

3.       Penambahan. x<y  <=> x+z<y+z

4.       Perkalian. Ketika z positif, x<y <+> xz<yz. Ketikan z negative, x<y ó xz>xy .

0.2 Pertidaksamaan dan Nilai mutlak

                Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x dinyatakan oleh lxl, didefinisikan sebagai

| x | = x jika x0

| x | = -x jika x0

                sifat-sifat nilai mutlak adalah tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian tapi begitu dalam proses penambahan dan pengurangan.

1.       | ab |= | a |  | b |

2.        =

3.       | a+b |  | a | + | b | (pertidaksamaan segitiga)

4.       | a-b ||  || a | - | b ||

pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak

                |x| < a ó - a < x < a

                |x| > a ó x < - a / x > a

0.3 Sistem koordinat regtangular

lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

lingkaran persamaan mengatakan bahwa (x+1)2 + (y-2)2=9. adalah persamaan lingkaran berjari-jari 3 dengan pusat (-1,2) bermakna 2 hal :

1. jika sebuah titik ada pada lingkaran ini, maka koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan.

2. jika x dan y adalah bilangan yang memenuhi persamaan, maka mereka adalah koordinat- koordinat

suatu titik pada lingkaran itu.

0.4 Grafik persamaan

                Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik dibidang yang koordinat (x,y) memenuhi persamaan, yakni membuat suatu identitas yang benar.

langkah 1: dapatkan koordinat- koordinat  beberapa titik yang memenuhi persamaan.

langkah 2: plotlah titik tesebut pada bidang.

langkah 3: hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

0.5 Fungsi dan grafiknya

                 Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi  yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan ke 2. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi .Grafik fungsi jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fingsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x)

Fungsi-fungsi ini didefinisikan oleh :

0.6 Operasi pada fungsi

Macam-macam fungsi

- fungsi konstanta : sebuah fungsi berbentuk f(x)=k, dengan k konstanta (bilangan real).

  grafiknya berupa sebuah garis mendatar.

- fungsi identitas : grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik – asal dengan kemiringan 1.

- fungsi polynomial : sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas  dengan menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian.

- fungsi linear : fungsi derajat satu

- fungsi kuadrat : fungsi derajat dua

Fungsi aljabar eksplisit fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui Lima operasi: penambahan, pengurangan, pembagian dan penarikan akar.

0.7 Fungsi trigonometri

Definisi fungsi sinus dan kosinus

                Misalkan t bilangan real yang menentukan P(x,y)

                Maka sin t=y dan cos t=x

Jadi daerah hasil untuk sinus dan kosinus, adalah interval,

periode dan aplitudo fungsi trigonometri fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga f(x+f)=f(x)