Tan Altris: Ringkasan Materi Kalkulus 1-2

BAB I PENDAHULUAN

0.1 Bilangan Real, Estimasi, dan Logika
Dasar dan kalkulus adalah sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi. apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya?
Bilangan BuIat dan Rasional Bilangan paling sederhana di antara semuanya adalah bilangan asli (natural number)
.1. 2.3.4.5.6,
Dengan bilangan asli kita dapat menghitung: bilangan bulat (integer)
—3. —2. —1, 0. 1. 2. 3

Bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n, dengan m dan n bilangan bulat serta n ≠ 0, disebut bilangan rasional.
√2 tidak dapat dituliskan sebagai hasil-bagi dan dua bilangan bulat Jadi √2 adalah bilangan irasional (bukan rasional).
Bilangan Real Tinjaulah semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Bilangan-bilangan ini disebut sebagai bilangan real.

Desimal Berulang dan Tak berulang Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil-bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang dengan penyebut. kita memperoleh desimal (Gambar 5). Sebagai contoh,
1/2 = 0,5 3/8 = 0,375 3/7 = 0,428571428571428571
Bilangan irasional juga dapat dinyatakan sebagai desimal. Sebagai contoh.
√2 = 1.4142135623 ..., π = 3.1415926535

0.2 Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x dinyatakan oleh lxl, didefinisikan sebagai
| x | = x jika x≥0
| x | = -x jika x<0
    sifat-sifat nilai mutlak adalah tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian tapi begitu dalam proses penambahan dan pengurangan.
    | ab |= | a | | b |〖^〗
    |a/b| = (|a|)/(|b|)
    | a+b | ≤ | a | + | b | (pertidaksamaan segitiga)
    | a-b || ≤ || a | - | b ||
pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak
    |x| < a - a < x < a
    |x| > a x < - a / x > a

0.3 Sistem Koordinat Rektanguler
Persamaan iingkaran Dari rumus jarak ke persamaan suatu lingkaran hanyalah sebuah Iangkah kecil. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat). Misalkan (x, y) menyatakan titik sebarang pada lingkaran ini. Menurut Rumus Jarak

0.4 Grafik Persamaan
Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat-koordinat (x,y)-nya memenuhi persamaan yakni, membuat suatu identitas yang benar.
Prosedur Penggambaran Grafik Untuk menggambarkan suatu persamaan, misalnya y = 〖2x〗^3 - x + 19, kita dapat mengikuti prosedur tiga langkah sederhana:
Langkah 1: Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.
Langkah 2: Plotlah titik-titik tersebut pada bidang.
Langkah 3: Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

0.5 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
sebuah fungsi f adaIah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilal yang diperoleh secara
demikian disebut daerah hasil (range) fungsi.

Daerah asal dan daerah hasil untuk fungsi f dan g, diperlihatkan dalam tabel berikut.

0.6. Operasi pada Fungsi

Dengan asumsi bahwa f dan g mempunyai daerah asal alami, kita akan memperoleh:

0.7 Fungsi Trigonometri
Definisi Fungsi sinus dan kosinus
Misalkan t bilangan real yang menentukan titik P(x, y) seperti ditunjukkan di atas.
Maka
sin t = y dan cos t = x