Ringkasan Materi Kalkulus 1-2

BAB I PENDAHULUAN

0.1 Bilangan Real, Estimasi, dan Logika
Dasar dan kalkulus adalah sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi. apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya?
Bilangan BuIat dan Rasional Bilangan paling sederhana di antara semuanya adalah bilangan asli (natural number)
.1. 2.3.4.5.6,
Dengan bilangan asli kita dapat menghitung: bilangan bulat (integer)
—3. —2. —1, 0. 1. 2. 3



Bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n, dengan m dan n bilangan bulat serta n ≠ 0, disebut bilangan rasional.
√2 tidak dapat dituliskan sebagai hasil-bagi dan dua bilangan bulat Jadi √2 adalah bilangan irasional (bukan rasional).
Bilangan Real Tinjaulah semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Bilangan-bilangan ini disebut sebagai bilangan real.

 
Desimal Berulang dan Tak berulang  Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil-bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang dengan penyebut. kita memperoleh desimal (Gambar 5). Sebagai contoh,
1/2 = 0,5      3/8 = 0,375      3/7  = 0,428571428571428571
Bilangan irasional juga dapat dinyatakan sebagai desimal. Sebagai contoh.
√2 = 1.4142135623 ..., π = 3.1415926535


 
0.2  Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak


Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x dinyatakan oleh lxl, didefinisikan sebagai
| x | = x jika x≥0
| x | = -x jika x<0
    sifat-sifat nilai mutlak adalah tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian tapi begitu dalam proses penambahan dan pengurangan.
    | ab |= | a |  | b |〖^〗
    |a/b| = (|a|)/(|b|)
    | a+b | ≤ | a | + | b | (pertidaksamaan segitiga)
    | a-b || ≤ || a | - | b ||
pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak
    |x| < a  - a < x < a
    |x| > a  x < - a / x > a



0.3 Sistem Koordinat Rektanguler
Persamaan iingkaran Dari rumus jarak ke persamaan suatu lingkaran hanyalah sebuah Iangkah kecil. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat). Misalkan (x, y) menyatakan titik sebarang pada lingkaran ini. Menurut Rumus Jarak

 
0.4 Grafik Persamaan
Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat-koordinat (x,y)-nya memenuhi persamaan yakni, membuat suatu identitas yang benar.
Prosedur Penggambaran Grafik Untuk menggambarkan suatu persamaan, misalnya y = 〖2x〗^3 - x + 19, kita dapat mengikuti prosedur tiga langkah sederhana:
Langkah 1: Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.
Langkah 2: Plotlah titik-titik tersebut pada bidang.
Langkah 3: Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.  






0.5 Fungsi dan Grafiknya
Definisi   
sebuah fungsi f adaIah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilal yang diperoleh secara
demikian disebut daerah hasil (range) fungsi.


Daerah asal dan daerah hasil untuk fungsi f dan g, diperlihatkan dalam tabel berikut.




0.6. Operasi pada Fungsi



Dengan asumsi bahwa f dan g mempunyai daerah asal alami, kita akan memperoleh:

0.7 Fungsi Trigonometri
Definisi Fungsi sinus dan kosinus
Misalkan t bilangan real yang menentukan titik P(x, y) seperti ditunjukkan di atas.
Maka
        sin t = y    dan    cos t = x







BAB II LIMIT







1.1 Pendahuluan limit




1.2 Pengkajian Mendalam tentang Limit






1.3 Teorema Limit












1.4 Limit Melibatkan ungsi Trigonometri




1.5 Limit di Tak-hingga dan Limit Tak-berhingga

1.6 Kontinuitas Fungsi




Teorema A



Teorema D

RINGKASAN MATERI

KALKULUS

MATERI PERSIAPAN

0.1 Bilangan Real,Estimasi, dan Logika

Macam-macam bilangan :

-          Bilangan bulat ada 3 macam :

1. Ganjil : semua bilangan yang tidak dapat dibagi dua

2. Genap : semua bilangan yang dapat dibagi dua

3. Prima : semua bilangan yang hanya dapat dibagi 1 dan dirinya sendiri (1,3,5,7,11,..)

-          Bilangan Rasional : bilangan yang dapat ditulis  dimana n0 asalkan angka desimalnya berulang.

-          Bilangan real : gabungan dari semua bilanngan, istimewa, punya hubungan satu dengan lainnya.

Urutan pada garis real dengan mengatakan bahwa x  berarti x ada disebelah kiri y pada garis real.

         

         X                       y

Sifat-sifat urutan :

1.       Trikotomi . jika x dan y adalah bilangan, maka tempat satu diantara yang berikut berlaku: xy atau x=y atau x>y

2.       Ketransitifan. x<y dan y<z => x<z.

3.       Penambahan. x<y  <=> x+z<y+z

4.       Perkalian. Ketika z positif, x<y <+> xz<yz. Ketikan z negative, x<y ó xz>xy .

0.2 Pertidaksamaan dan Nilai mutlak

                Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x dinyatakan oleh lxl, didefinisikan sebagai

| x | = x jika x0

| x | = -x jika x0

                sifat-sifat nilai mutlak adalah tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian tapi begitu dalam proses penambahan dan pengurangan.

1.       | ab |= | a |  | b |

2.        =

3.       | a+b |  | a | + | b | (pertidaksamaan segitiga)

4.       | a-b ||  || a | - | b ||

pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak

                |x| < a ó - a < x < a

                |x| > a ó x < - a / x > a

0.3 Sistem koordinat regtangular

lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

lingkaran persamaan mengatakan bahwa (x+1)2 + (y-2)2=9. adalah persamaan lingkaran berjari-jari 3 dengan pusat (-1,2) bermakna 2 hal :

1. jika sebuah titik ada pada lingkaran ini, maka koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan.

2. jika x dan y adalah bilangan yang memenuhi persamaan, maka mereka adalah koordinat- koordinat

suatu titik pada lingkaran itu.

0.4 Grafik persamaan

                Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik dibidang yang koordinat (x,y) memenuhi persamaan, yakni membuat suatu identitas yang benar.

langkah 1: dapatkan koordinat- koordinat  beberapa titik yang memenuhi persamaan.

langkah 2: plotlah titik tesebut pada bidang.

langkah 3: hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

0.5 Fungsi dan grafiknya

                 Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi  yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan ke 2. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi .Grafik fungsi jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fingsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x)

Fungsi-fungsi ini didefinisikan oleh :

0.6 Operasi pada fungsi

Macam-macam fungsi

- fungsi konstanta : sebuah fungsi berbentuk f(x)=k, dengan k konstanta (bilangan real).

  grafiknya berupa sebuah garis mendatar.

- fungsi identitas : grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik – asal dengan kemiringan 1.

- fungsi polynomial : sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas  dengan menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian.

- fungsi linear : fungsi derajat satu

- fungsi kuadrat : fungsi derajat dua

Fungsi aljabar eksplisit fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui Lima operasi: penambahan, pengurangan, pembagian dan penarikan akar.

0.7 Fungsi trigonometri

Definisi fungsi sinus dan kosinus

                Misalkan t bilangan real yang menentukan P(x,y)

                Maka sin t=y dan cos t=x

Jadi daerah hasil untuk sinus dan kosinus, adalah interval,

periode dan aplitudo fungsi trigonometri fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga f(x+f)=f(x)